La fiabilité de Weibull décrit l’évolution de la probabilité de défaillance avec le temps d’exposition. B10 est le temps auquel le modèle atteint 10 % de défaillances cumulées ; la durée de vie caractéristique correspond à environ 63,2 %. Avant d’utiliser une affirmation sur la durée de vie d’une entrée de câble pour prendre une décision, je compare la mesure annoncée, les conditions d’essai et la borne de confiance.
Cette distinction compte. Deux modèles peuvent avoir la même durée de vie caractéristique tout en présentant des valeurs de B10 très différentes. Un essai long avec peu de défaillances apporte également des informations différentes d’une longue liste de pièces retournées. Lisez la courbe en tenant compte de la population et des données utilisées pour l’ajuster.
À retenir
- B10 décrit le percentile précoce du modèle ; il diffère de la durée de vie moyenne ou caractéristique.
- La forme modifie la tendance du taux de défaillance, tandis que l’échelle définit le temps caractéristique.
- Incluez les éprouvettes survivantes avec leurs temps et statuts de censure.
- Comparez une estimation ponctuelle à la borne de confiance requise pour la décision.
- Reliez le temps d’essai accéléré aux conditions d’utilisation au moyen du mécanisme concerné et du modèle d’accélération.
Un modèle de Weibull est une distribution de probabilité utilisée pour décrire des grandeurs telles que le temps ou le nombre de cycles avant défaillance. La norme IEC 61649:2008 fournit des méthodes analytiques et graphiques pour l’analyse de Weibull d’éléments échantillonnés en essai ou en service. Pour une entrée de câble, définissez l’assemblage, l’exposition et l’événement de défaillance auxquels le modèle s’applique.
La forme à deux paramètres utilise une origine temporelle égale à zéro, un paramètre de forme positif et un paramètre d’échelle positif. Pour une durée d’exposition , la probabilité cumulée de défaillance est :
La probabilité de survie est la probabilité de rester exempt de la défaillance définie jusqu’au temps . Elle vaut . Le temps et l’échelle doivent être exprimés dans les mêmes unités ; la forme est sans dimension. C’est la formulation du modèle de durée de vie de Weibull du NIST, bien que certains logiciels utilisent d’autres symboles.
La durée de vie caractéristique est l’échelle , pour laquelle le modèle atteint , soit environ 63,2 %. La forme détermine la tendance du taux de défaillance instantané parmi les unités encore en survie. Une valeur inférieure à 1 correspond à un taux décroissant, une valeur égale à 1 à un taux constant et une valeur supérieure à 1 à un taux croissant.
J’utilise la tendance de forme pour orienter une investigation. Un taux croissant justifie de vérifier une dégradation liée à l’âge, tandis que des défaillances précoces peuvent inciter à examiner de plus près les variations de montage ou de fabrication. La conclusion physique repose toutefois sur les éprouvettes et l’historique d’exposition : une même forme statistique peut résulter de mécanismes différents.
La durée de vie B10 est le dixième percentile de la distribution des défaillances. Dans le même modèle, 90 % de la population survit jusqu’à cette exposition. Selon la relation entre quantiles du NIST :
Le logarithme est naturel, et le résultat a les mêmes unités que . La durée de vie moyenne est une autre moyenne qui dépend des deux paramètres. Une loi de Weibull à trois paramètres ajoute un paramètre de position ou de décalage ; vérifiez donc la forme du modèle avant d’appliquer cette équation à position nulle.
Considérons trois modèles illustratifs dont les paramètres ont été choisis délibérément. Ce sont des exemples mathématiques, distincts du jeu de données à six éprouvettes présenté plus loin dans l’article.
| Modèle | Forme | Durée de vie caractéristique | B10 calculé | Probabilité de défaillance à 500 h |
|---|---|---|---|---|
| A | 1 | 1 000 h | 105.4 h | 39.35% |
| B | 2 | 1 000 h | 324.6 h | 22.12% |
| C | 2 | 1 500 h | 486.9 h | 10.52% |
Pour B, introduisez dans l’équation de B10 l’échelle supposée de 1 000 h et la forme 2. La racine carrée de vaut environ 0,32459, ce qui donne 324,6 h. A a la même échelle, mais une forme différente ; son B10 est donc beaucoup plus précoce.
Je comparerais B10 ou la probabilité de défaillance à l’exposition requise lorsque les défaillances précoces sont préoccupantes. L’échelle seule masque cette différence. À 500 h, B présente une probabilité cumulée de défaillance inférieure à celle de A. À 2 000 h, l’ordre s’inverse : A atteint 86,47 %, tandis que B atteint 98,17 %. Les deux courbes se rejoignent à leur durée de vie caractéristique commune de 1 000 h.
C montre l’effet d’une augmentation de l’échelle à forme fixe. Son B10 vaut 1,5 fois celui de B, comme le rapport des échelles. Les trois courbes sont calculées à partir des paramètres indiqués ; une comparaison réelle d’entrées de câble nécessite des modèles ajustés à des observations pertinentes et évalués en tenant compte de leur incertitude.
Lorsqu’un rapport ne donne qu’une durée, déterminez s’il s’agit de B10, d’une moyenne, de la durée de vie caractéristique, d’une fin d’essai ou d’une période de fonctionnement prévue. Le guide de durabilité à long terme explique comment les conditions de service et la maintenance s’inscrivent dans cette décision à plus long terme.
Une population est l’ensemble des assemblages que le résultat est censé décrire. Fixez la conception du presse-étoupe, le composé du joint, la gaine et le diamètre du câble, la disposition de montage et les conditions d’installation. Si les lots ou les variantes diffèrent, conservez leur identité afin de pouvoir examiner leurs effets au lieu de les masquer par une mise en commun.
Choisissez un critère de fin de vie fonctionnel avant le début de l’exposition. Une fuite dépassant un seuil défini, une perte de maintien et un endommagement visible du revêtement sont des événements différents. Ils peuvent conduire à des distributions de durée de vie différentes. Je choisis l’événement correspondant à la décision d’ingénierie, puis je définis la méthode et le seuil de mesure afin que chaque éprouvette soit évaluée de manière cohérente.
Le guide des défaillances par pénétration d’eau aide à distinguer les chemins de fuite à travers le joint de câble et l’interface de montage. Ces chemins peuvent nécessiter des inspections différentes, même s’ils entraînent tous deux la présence d’eau à l’intérieur du boîtier.
Utilisez une seule horloge d’exposition pour l’analyse : heures de fonctionnement, durée d’exposition environnementale ou nombre de cycles. Précisez son point de départ et le traitement des pauses. La durée considérée ici est celle jusqu’à la première défaillance d’un assemblage non réparé. Des défaillances répétées après réparation nécessitent un modèle et une structure de données décrivant les réparations et la récurrence.
Un échantillon aléatoire ou justifié autrement doit représenter la population concernée. Les composants retournés peuvent être utiles au diagnostic, mais une liste limitée aux retours omet les unités installées qui ont survécu. Reliez les enregistrements de défaillance aux unités encore observées et à leur historique d’exposition. Le guide d’essais de durabilité explique comment la définition de l’assemblage et la planification de l’exposition s’articulent.
La censure à droite signifie qu’une unité est restée exempte de la défaillance définie jusqu’à sa dernière observation, tandis que sa date de défaillance ultérieure demeure inconnue. La censure par intervalle signifie que l’événement s’est produit entre deux dates d’observation. Les recommandations du NIST sur la censure expliquent ces types de données et pourquoi chacun doit être inclus dans l’analyse.
Utilisez le jeu de données hypothétique suivant, qui comprend six éprouvettes. Supposons que leurs durées de vie soient indépendantes et issues de la même population, que les conditions d’exposition soient communes, que le critère de fin soit surveillé en continu et qu’un arrêt soit prévu à 300 h.
| Éprouvette | Temps d’observation | Statut | Signification |
|---|---|---|---|
| A | 100 h | Défaillance | Première défaillance définie observée à 100 h |
| B | 180 h | Défaillance | Première défaillance définie observée à 180 h |
| C | 260 h | Défaillance | Première défaillance définie observée à 260 h |
| D | 300 h | Censurée à droite | A survécu jusqu’à la fin de l’essai |
| E | 300 h | Censurée à droite | A survécu jusqu’à la fin de l’essai |
| F | 300 h | Censurée à droite | A survécu jusqu’à la fin de l’essai |
Conservez un champ de statut distinct. Les trois entrées à 300 h sont des observations de survie ; leur contribution diffère donc de celle d’une défaillance enregistrée à 300 h. Les supprimer fait perdre la moitié survivante de l’échantillon ; les recoder en défaillances modifie ce qui s’est produit.
Si le critère est inspecté périodiquement, consignez le dernier contrôle conforme et le premier contrôle non conforme. Un résultat conforme à 200 h suivi d’une défaillance à 250 h définit cet intervalle. Utilisez une méthode d’ajustement qui accepte les intervalles au lieu d’attribuer le milieu de l’intervalle ou l’heure d’inspection comme date exacte de l’événement.
Je consigne également la raison de la fin de chaque observation. Un arrêt planifié justifie une hypothèse de censure différente du retrait d’une éprouvette parce qu’elle semble proche de la défaillance. Examinez ces retraits et leur lien avec la durée de vie avant de choisir la méthode d’analyse.
L’estimation du maximum de vraisemblance, ou MLE, choisit les paramètres qui rendent les observations enregistrées les plus cohérentes avec la distribution retenue. Les défaillances exactes contribuent à la densité de probabilité à leur date de défaillance ; les unités censurées à droite contribuent à la probabilité de survie jusqu’à leur date d’observation. Les observations censurées par intervalle contribuent par la probabilité d’une défaillance entre les deux relevés. Les recommandations du NIST sur l’estimation du maximum de vraisemblance présentent ces termes distincts de vraisemblance.
Pour les six observations hypothétiques ci-dessus, une estimation MLE de Weibull à deux paramètres avec position fixée à zéro donne une forme d’environ 2,047, une échelle de 353,7 h et un B10 de 117,8 h. Le tableau compare ce calcul à deux traitements volontairement incorrects des mêmes données.
| Traitement | Estimation de la forme | Estimation de l’échelle | Estimation de B10 | Conséquence sur les données |
|---|---|---|---|---|
| Trois défaillances et trois survivantes censurées à droite | 2.047 | 353.7 h | 117.8 h | Conserve les observations indiquées |
| Supprimer les trois unités survivantes | 3.121 | 202.2 h | 98.3 h | Ajuste uniquement le sous-ensemble ayant défailli |
| Marquer comme défaillances les trois survivantes à 300 h | 4.016 | 266.0 h | 151.9 h | Introduit des événements absents de l’exemple |
J’ai constaté que recoder les survivantes en défaillances augmente B10, dans ce jeu de données hypothétique, à 151,9 h au lieu de 117,8 h. Supprimer ces mêmes survivantes l’abaisse à 98,3 h. Ces effets opposés font du champ de statut une priorité lors de la vérification d’un rapport importé ; une erreur de codage peut déplacer le résultat dans l’un ou l’autre sens. Utilisez d’abord les statuts corrects, puis évaluez l’ajustement et l’incertitude. Avec seulement trois défaillances observées, les estimations de forme et de la queue inférieure sont sensibles. Une exposition plus informative et une analyse de confiance sont nécessaires pour une comparaison d’ingénierie robuste.
Un graphique de probabilité compare les observations au modèle sur des axes transformés. Il diffère des courbes cumulées ordinaires présentées plus tôt. Dans la méthode de graphique de probabilité du NIST, les positions de tracé tiennent compte de la censure. Une tendance globalement linéaire étaye la cohérence avec le modèle retenu.
Examinez la courbure, les regroupements par lot, les valeurs aberrantes précoces et les effets liés à la position des éprouvettes. Ne retirez un point qu’en présence d’un motif documenté, lié à la mesure ou à la population, justifiant un traitement différent. Comparez les distributions plausibles à partir des mêmes observations. L’exemple détaillé de Weibull du NIST compare les ajustements de Weibull et lognormal, dont les statistiques d’ajustement sont similaires ; il montre qu’une courbe visuellement régulière ne suffit pas à lever l’incertitude sur le choix du modèle.
Des mécanismes de défaillance peuvent également entrer en concurrence. Si la corrosion met fin à l’observation avant qu’une défaillance par fuite ne se produise, consignez à la fois l’événement qui a mis fin à l’observation et le temps de fuite censuré. Le modèle de risques concurrents du NIST combine les mécanismes sous des hypothèses d’indépendance et de première défaillance. Si le mouvement du joint favorise à la fois corrosion et fuite, examinez cette cause commune lors du choix du modèle.
Une borne de confiance exprime l’incertitude d’une grandeur estimée pour la population, compte tenu des hypothèses d’analyse. Une borne de confiance inférieure de B10 répond à une question différente de l’estimation ponctuelle de B10. Indiquez à côté de la valeur le niveau de confiance, la forme unilatérale ou bilatérale et la méthode de calcul.
Supposons, par exemple, qu’une exigence demande une borne de confiance inférieure unilatérale à 95 % pour B10 d’au moins 1 000 h. Un rapport hypothétique indiquant une estimation ponctuelle de B10 de 1 300 h et une borne inférieure de 900 h ne satisfait pas cette exigence. L’excédent de 300 h de l’estimation ponctuelle ne compense pas le déficit de 100 h par rapport à la borne demandée.
J’examine la taille de l’échantillon et le nombre de défaillances en même temps que cette comparaison. Un intervalle de confiance décrit l’incertitude sur le percentile ou le paramètre estimé ; il ne s’agit pas d’un intervalle contenant cette fraction des durées de vie individuelles. Pour comparer des rapports, utilisez la même mesure de durée de vie, la même convention de confiance, le même critère de fin et la même base d’exposition.
En l’absence de défaillances, indiquez combien d’unités ont survécu et pendant combien de temps. Dans un ajustement de Weibull à deux paramètres sans contrainte, l’augmentation de l’échelle peut continuer à accroître la vraisemblance des données où toutes les unités survivent ; les observations seules ne permettent donc pas d’identifier une estimation finie de la forme et de l’échelle. Une méthode distincte de démonstration de fiabilité, définie séparément, peut utiliser ces résultats de survie sous les hypothèses qu’elle précise.
Une séquence de lecture utile consiste à identifier la mesure de durée de vie, examiner les données observées et censurées, vérifier l’ajustement du modèle, puis comparer la borne de confiance demandée. Approfondissez l’élément qui gouverne la décision : durée d’exposition, nombre de défaillances, populations mixtes ou mécanisme incertain.
Une courbe de Weibull ajustée à une contrainte élevée décrit cette condition. Pour la projeter vers l’utilisation normale, associez la distribution de durée de vie à une relation d’accélération correspondant au mécanisme de défaillance concerné. Les recommandations du NIST sur la projection aux conditions d’utilisation expliquent pourquoi les deux modèles sont importants, notamment lorsque la prévision de service se situe dans la queue précoce peu observée.
Vérifiez que les conditions accélérées et de service préservent le mécanisme. Une température plus élevée peut modifier le processus de dégradation d’un joint, tandis que l’humidité, les produits chimiques et les mouvements peuvent affecter l’assemblage de façons différentes. Traitez l’historique de contrainte comme une partie du modèle, au lieu de réunir des heures sans lien dans un seul compteur d’âge. Le guide sur le vieillissement des joints relie ces contraintes au fonctionnement du joint.
Je recherche des observations à contrainte plus faible, de plus longue durée ou sur le terrain pour vérifier la projection près des conditions d’utilisation prévues. Conservez l’estimation issue des conditions d’essai dans ses unités d’origine, heures ou cycles, et indiquez le profil d’utilisation associé à une prévision de service. La valeur B10 reste ainsi liée à une population, un événement de défaillance et un modèle d’exposition précis lorsqu’elle est utilisée pour une décision de maintenance ou de conception.
B10, la durée de vie caractéristique et la durée de vie moyenne décrivent des aspects différents d’un modèle de durée de vie de Weibull. Une même durée de vie caractéristique peut masquer des comportements de défaillance précoce très différents ; comparez donc la mesure qui correspond à l’exposition et à la décision visées. Conservez dans l’analyse les éprouvettes défaillantes et survivantes avec leur statut correct.
Je lis la borne de confiance à côté de l’estimation ponctuelle, puis je vérifie la population, la définition de la défaillance et les conditions de contrainte. Les exemples détaillés montrent pourquoi ces éléments modifient le résultat numérique. Pour prévoir la durée de vie en service, reliez le modèle d’essai au mécanisme réel et au profil d’utilisation avant d’appliquer le résultat à la maintenance ou à la conception.
La durée de vie caractéristique est la valeur d’échelle, pour laquelle le modèle à deux paramètres atteint environ 63,2 % de défaillances cumulées. La durée de vie moyenne dépend à la fois de la forme et de l’échelle et désigne une quantité différente. Lisez la mesure indiquée dans le rapport avant de comparer les durées ; B10 porte sur l’exposition jusqu’au dixième percentile de défaillance, plus précoce.
Conservez la date de la dernière observation, le statut de censure à droite et la raison de la fin de l’observation. Ces données montrent que l’éprouvette a survécu jusqu’à cette date et contribuent à l’analyse de durée de vie. Utilisez une méthode qui accepte la censure. Pour les défaillances détectées entre deux inspections, conservez l’intervalle entre le dernier contrôle conforme et le premier contrôle non conforme au lieu d’attribuer une date exacte à l’événement.
B10 correspond à l’exposition du modèle au point où les défaillances cumulées atteignent 10 %, soit une survie de 90 % dans les conditions définies. Certaines unités tombent en panne plus tôt, d’autres plus tard. L’estimation comporte aussi une incertitude ; comparez donc la borne de confiance exigée pour évaluer un objectif de fiabilité. La planification de la maintenance tient également compte des conséquences d’une défaillance et du profil de service.
Associez la distribution de durée de vie à un modèle d’accélération correspondant au mécanisme concerné et aux conditions d’utilisation. Vérifiez que le mécanisme reste applicable et comparez la projection à des observations pertinentes à contrainte plus faible, de longue durée ou sur le terrain. Lors de l’interprétation de la durée projetée, explicitez la population, le critère de défaillance, le temps d’exposition et l’incertitude.